음정은 어떻게 만들어졌나
도-레-미-파-솔. 우리는 이 음들이 원래부터 있었던 것처럼 부릅니다. 하지만 음과 음 사이의 간격은 사람이 정한 것이고, 그 간격을 정하는 데 2,500년이 걸렸습니다. 그리고 그 결론은 놀랍게도 "완벽하게는 불가능하다"였습니다.
이 페이지의 소리는 두 종류입니다. 피아노 모델은 우리가 만든 피아노 물리 모델이 계산한 소리이고, 원리 소리는 원리를 또렷하게 들려주려고 만든 단순한 소리(배음 6개)입니다. 버튼을 누르면 소리와 함께 그래프에 소리의 크기가 그려집니다. 떨림이 있으면 그래프가 물결칩니다.
0소리의 높이란? — 줄의 길이, 파장, 음
소리는 공기의 떨림입니다. 줄이 떨면 옆의 공기를 밀었다 당겼다 하고, 그 떨림이 귀까지 전해집니다. 1초에 몇 번 떠느냐를 진동수라고 하고, 단위는 Hz(헤르츠)입니다. 많이 떨수록 높은 소리입니다.
막대를 잡고 끄는 동안 소리가 납니다. 놓으면 멈춥니다. 아래 버튼은 자주 쓰는 길이입니다.
실제로는 1초에 수백 번 떨지만, 여기서는 아주 느리게 보여 줍니다. 점선까지가 줄 위의 한 파장(줄 길이의 2배)입니다.
줄은 통째로 떨면서 동시에 반씩, 3분의 1씩 나뉘어서도 떱니다.
점은 공기 알갱이입니다. 줄이 밀고 당긴 공기가 몰렸다 흩어지며 귀 쪽으로 퍼집니다. 몰린 곳에서 다음 몰린 곳까지가 공기 속 한 파장이고, 길이는 소리의 속도(초속 약 343 m) ÷ 진동수입니다. 높은 소리일수록 짧습니다.
줄 위 파장 1.31 m. 피아노 가운데 도 줄은 줄 위를 달리는 파동의 속도(초속 약 345 m)가 공기 속 소리의 속도와 거의 같아서, 두 파장이 약 1.3 m로 비슷합니다. 다른 줄에서는 대개 다릅니다.
위의 도는 아래 도보다 정확히 2배 빨리 떱니다(공기의 밀림을 시간에 따라 그린 것).
음의 이름은 약속입니다. 지금은 "라"를 1초에 440번 떠는 소리로 정하고(1939년 런던 회의에서 합의, 1975년 국제표준), 나머지 음은 여기서 계산합니다. 그 전에는 같은 "라"가 1초에 380번에서 480번까지 시대와 지역마다 달랐습니다. 진동수가 2배면 대체로 비슷한 음으로 들려서, 음 이름은 옥타브마다 되풀이됩니다.
"도레미"라는 이름은 11세기 초 이탈리아의 수도사 구이도 다레초가 한 성가 가사의 첫 음절(ut, re, mi, fa, sol, la)을 쓴 데서 시작되었다고 전해집니다. 나중에 ut가 do로 바뀌고 7번째 음 si가 더해졌습니다(시기는 자료마다 다릅니다).
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줄의 진동수 = (줄 위 파동 속도) ÷ (2 × 길이). 실제 피아노 가운데 도 줄(설계표: 길이 0.657 m, 262 Hz → 파동 속도 약 345 m/s)의 장력과 굵기를 그대로 두고 길이만 바꾼 경우. 소리는 원리 소리(배음 6개). 공기 속 소리 속도 343 m/s(20℃). 출처: A440 — Wikipedia "A440"(1939 런던 회의, ISO 16 1975) · 옛 기준 380–480 Hz — capionlarsen.com "History of Pitch" · 구이도 — Wikipedia "Guido of Arezzo", "Ut queant laxis"(Britannica·Grove 인용) · 옥타브 비슷함 — Wagner et al. 2022, Attention, Perception & Psychophysics 84:1757. 모두 2차 자료 기준이며 공개 전 1차 대조 예정.1줄을 나누면 음이 생긴다
같은 줄을 짧게 짚으면 음이 높아집니다. 길이를 반으로 하면 한 옥타브 위의 "같은 이름의 음", 2/3이면 솔, 3/4이면 파가 됩니다. 고대 그리스 사람들은 2:1, 3:2, 4:3처럼 간단한 비율의 두 음이 잘 어울린다는 것을 알았습니다. 이번에는 우리 피아노 모델이 계산한 실제 피아노 줄 소리로 들어 봅니다.
누르면 줄의 그 부분만 울립니다(빨간 점 = 손가락). 같은 피아노 줄(낮은 도)입니다.
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피아노 모델 같은 C3 줄(약 131 Hz)을 장력과 굵기는 그대로 두고 길이만 바꿔 계산. 출처: Stanford Encyclopedia of Philosophy "Pythagoras"(망치 이야기는 사실이 아님).2음 하나 안에 숨은 소리 — 배음 사다리
아닙니다. 줄은 통째로 떨면서 반, 3분의 1, 4분의 1로 나뉘어서도 동시에 떱니다(0부분의 "나뉘어 떨기"). 그래서 도를 치면 도와 함께 2배·3배·4배·5배… 높이의 작은 소리가 저절로 울립니다. 이것이 배음입니다.
막대 하나가 배음 하나입니다. 높이는 실제 피아노 줄(낮은 도) 소리에서 잰 크기입니다. 작은 배음도 보이도록 크기를 그대로 쓰지 않고 줄였습니다(높이 = 크기의 제곱근). 위의 글자는 그 배음에 가장 가까운 음 이름입니다.
"하나씩 더하기"는 기본 소리에 배음을 1초마다 하나씩 더합니다(원리 소리). 마지막에는 실제 피아노 줄 소리와 비교해 보세요.
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막대 높이 = 피아노 모델 C3 소리(첫 1초)에서 잰 각 배음의 크기. 7번째 칸은 피아노 음계에 딱 맞는 음이 없음(시♭보다 조금 낮음).3겹치는 칸이 어긋나면 — 떨림
높이가 같은 두 소리는 하나로 녹고, 조금 다르면 "와와와" 떨립니다. 이 떨림이 맥놀이이고, 1초에 떠는 횟수는 두 소리의 진동수 차이와 같습니다. 19세기 헬름홀츠는 어울림과 안 어울림을 이 떨림과 거칠기로 설명했습니다.
두 소리의 높이 차이를 고르세요. 차이가 클수록 떨림이 빨라집니다.
누른 소리의 크기가 시간에 따라 어떻게 바뀌는지 그립니다. 떨림이 있으면 물결칩니다. 빨간 선이 지금 재생 위치입니다.
막대를 잡고 천천히 움직이는 동안 두 음(원리 소리)이 함께 납니다. 비율이 5:4(도-미)나 3:2(도-솔)처럼 간단해지는 곳에서 떨림이 사라지고 소리가 맑아집니다.
두 음의 배음 가운데 가장 가까운 짝이 1초에 몇 번 어긋나는지 계산해 2초 동안 그린 것입니다.
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2단계는 원리 소리(배음 6개) 두 개를 실시간으로 만든 것. 출처: Helmholtz 1863(『음의 감각에 관하여』), Plomp & Levelt 1965(JASA 38:548).4원이 닫히지 않는다
도에서 순수한 5도(3:2)를 쌓아 올라가면 도-솔-레-라-미-시-파♯-… 12번 만에 모든 건반을 한 번씩 거쳐 다시 "도"에 도착합니다. 그런데 도착한 도는 출발한 도보다 조금 높습니다(반음의 약 4분의 1). 원이 닫히지 않는 것입니다. 이 틈을 피타고라스 콤마라고 합니다.
막대를 오른쪽으로 옮기며 5도를 하나씩 쌓아 보세요. 12번째에서 처음 도로 돌아오지 못하는 틈이 생깁니다.
점 하나가 5도 하나입니다. 틈은 보기 쉽게 크게 그렸습니다.
출발한 도와 12번 돌아온 도를 함께 들으면 틈 때문에 떨립니다(원리 소리).
순수한 장3도(5:4)를 3번 쌓으면 한 옥타브에 약 41 cent(반음의 5분의 2) 모자랍니다. 한 옥타브 위 도와 함께 들어 보세요.
떨림이 있으면 물결칩니다.
귀는 소리를 높이별로 나눠 듣습니다. 떨림이 몰린 높이만 따로 그린 것입니다.
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원리 소리. 콤마 = 312/219 ≈ 23.46 cent, 장3도 3번 = 1158.94 cent(옥타브 1200보다 41.06 부족). 1 cent = 반음의 100분의 1. 직접 계산으로 확인.52,500년의 타협
틈을 없앨 수는 없으니, 어디에 얼마나 나눠 숨길지를 정해야 합니다. 시대마다 다른 답을 냈습니다.
| 방식 | 무엇을 지키고, 무엇을 양보했나 | 도-미 간격 |
|---|---|---|
| 피타고라스 음률 | 5도를 모두 순수하게. 대신 3도가 넓고 거칠다 | 408 cent |
| 순정률 (16세기 차를리노의 이론) | 한 조의 화음을 모두 순수하게. 다른 조로 가면 크게 어긋남 | 386 (순수) |
| 가온음률 (16세기) | 3도를 순수하게, 5도를 조금씩 좁힘. 남은 틈이 한 5도에 몰려 "늑대 5도"가 됨 | 386 |
| 웰 템퍼먼트 (베르크마이스터 1691 등) | 틈을 몇 군데로 나눠 모든 조를 칠 수 있게. 조마다 색깔이 다름 | 390 (베르크마이스터 III) |
| 평균율 (주재육 1584 계산 등) | 12칸을 똑같이. 어느 조나 같지만, 3도가 조금 넓다 | 400 |
먼저 원리 소리로 들어 보고, 그다음 피아노 모델로 들어 보세요. 아래 "가장 많이 떨리는 대역" 그래프에서 순정률만 매끈합니다.
떨림이 있으면 물결칩니다.
귀는 소리를 높이별로 나눠 듣습니다. 떨림이 몰린 높이만 따로 그린 것입니다.
가온음률에서 틈이 몰린 5도(솔♯–미♭)입니다. 보통 5도는 1초에 3번쯤 천천히 출렁이지만, 늑대 5도는 1초에 16번쯤 빠르게 떨립니다. 옛 사람들이 늑대 울음에 빗댄 소리입니다.
떨림이 있으면 물결칩니다.
귀는 소리를 높이별로 나눠 듣습니다. 떨림이 몰린 높이만 따로 그린 것입니다.
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음높이는 각 음률의 정의대로 계산(가온음률 = 5도를 신토닉 콤마의 1/4씩 좁힘, 베르크마이스터 III = C–G, G–D, D–A, B–F♯ 네 5도를 피타고라스 콤마의 1/4씩 좁힘). 늑대 5도 = 737.6 cent(순수한 5도 702.0). 출처: Wikipedia "Pythagorean comma", "Syntonic comma", "Quarter-comma meantone", "Andreas Werckmeister", "Zhu Zaiyu"(교차 확인용) · 바흐: J. New Music Research 52(4) 2023 외.6지금의 피아노 — 그리고 조율로
지금의 피아노는 대부분 평균율로 조율합니다(평균율은 19세기를 거치며 점차 표준이 되었습니다). 어느 조나 똑같이 칠 수 있는 대신, 도-미 같은 3도는 순수한 3도보다 조금 넓어서 아주 작게 떨립니다.
그런데 피아노에는 하나가 더 있습니다. 피아노 줄은 강철이라 뻣뻣해서, 배음이 정확한 2배·3배보다 살짝 높게 나옵니다. 그래서 조율사는 평균율 위에서 다시 한 번, 귀로 맞춥니다. 그 이야기가 2장의 두 번째 영상 「조율 — 떨림을 세는 일」입니다.