피아노 향판 실험 — C4, 현 1~3줄
1차 모델(해머 + 강성 현) 위에 향판을 붙였다. 향판 = 리브로 보강한 직교이방성 판, 가장자리 고정 + 브리지(단풍나무 보), 고유모드 322개(유한차분 고유값 풀이). 현과 향판은 브리지에서 양방향으로 연결된다(현이 브리지를 밀고, 브리지가 움직이면 현의 끝도 움직인다). 실행 523초.
0. 들어보기 (모두 해머 속도 2 m/s, 최대 음량 동일)
①은 브리지 힘, ②~⑤는 향판이 내는 소리(판 전체의 부피 가속도, 저주파 근사)다. 향판이 음색에 색을 입히고, 현이 3줄이면 여운이 길게 남는다.
S1. 향판 가장자리 · 리브 · 브리지 · 볼록함
세 단계로 바꿔 가며 쟀다. 받친 가장자리(처음) → 고정 가장자리 + 리브(나무·리브 치수에서 계산, 맞추기 없음) → + 브리지. 브리지는 단풍나무 보(폭 3.0 cm × 높이 3.5 cm, Ege 2013 의 "높이 3–4 cm, 폭 2.5–3.5 cm")로 판 위에 붙였다. 단풍나무 결 방향 강성 12 GPa 는 가정이다.
| 항목 | 받친 가장자리 | 고정 + 리브 | + 브리지 | 실측 |
|---|---|---|---|---|
| 가장 낮은 모드 (Hz) | 30.7 | 68.8 | 71.9 | 81 |
| 아래 21개 모드 평균 간격 (Hz) | 23.6 | 24.2 | 25.1 | 약 22 |
| 모드 밀도 500~3000 Hz (개/Hz) | 0.048 | 0.054 | 0.052 | 약 0.05 |
| 브리지 평균 임피던스 100~1000 Hz (kg/s) | 750 | 631 | 1257 | 약 10³ |
| Dx / Dy (N·m) | 2164 / 541 | 375 / 1566 | 375 / 1566 | — |
볼록함(crown)은 원인이 아니었다. 이전 판에서 "남은 차이는 볼록함 때문"이라고 적었는데, 확인해 보니 틀렸다.
- 문헌: Ege 2013 의 유한요소 계산에서 볼록함(반지름 43 m, 중앙 약 8 mm)과 현 하중을 넣고 빼도 가장 낮은 모드가 84~88 Hz 로 4~5% 만 바뀐다.
- 우리 계산: 얕은 구면 셸의 막(membrane) 강성 항으로 R = 43 m 를 넣으면 첫 모드는 69 → 69.2 Hz (+0.3%).
남은 차이는 입력값의 불확실성으로 설명된다. 리브 간격(문헌 10~18 cm)과 브리지 크기를 문헌 범위 안에서 바꾸면 첫 모드가 65.6–81.2 Hz 사이를 움직인다. 실측 81 Hz 가 이 범위 안에 있다. 가장 크게 움직이는 것은 리브 간격이다(10 cm 일 때 78~81 Hz). 기본값은 가운데 값(리브 14 cm, 브리지 3.0×3.5 cm)으로 두었다.
브리지의 더 큰 효과는 임피던스다. 현이 걸리는 점이 뻣뻣한 보 위에 놓이면서 평균 임피던스가 631 → 1257 kg/s 로 거의 두 배가 됐다(Wogram 측정 약 10³ kg/s 에 더 가깝다). 그만큼 현의 에너지가 향판으로 덜 샌다 — S2·S3 의 감쇠가 전보다 느려진 이유다.
풀이 검증: 정사각 등방성 판의 정확해(Leissa 1969)와 첫 4개 모드 0.6% 이내. 받친 판(브리지 없음)은 닫힌 해와 주파수 1%, 모빌리티 3% 안에서 같다. 풀이 결과는 디스크에 캐시해 두 번째부터 0.02초(처음 약 20초) — 테스트 전체가 5분 → 약 1분.
S2. 현의 에너지가 향판으로 새는 양
현의 파동이 브리지에 한 번 닿을 때마다 에너지의 4·Z₀·Re Y 만큼이 향판으로 넘어간다(Z₀ = 현의 특성 임피던스, Y = 브리지 모빌리티). 파동은 기본 주기마다 한 번 왕복한다. 따라서 감쇠율 증가분 = 2·Z₀·f₀·Re Y(fn) 이다. 이 식으로 각 배음의 감쇠 시간을 미리 계산하고 시뮬레이션과 비교했다.
| 배음 | Hz | Re Y (×10⁻³) | 고정 브리지 T60 | 예측 T60 | 측정 T60 | 차이 | 틀린 식(fn) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 262 | 0.10 | 36.94 | 23.65 | 23.79 | +1% | 23.65 |
| 2 | 524 | 0.15 | 33.19 | 18.59 | 18.67 | +0% | 12.90 |
| 3 | 786 | 0.24 | 28.40 | 13.78 | 13.89 | +1% | 6.78 |
| 4 | 1050 | 0.15 | 23.63 | 15.10 | 15.15 | +0% | 7.24 |
| 5 | 1314 | 0.77 | 19.43 | 5.86 | 5.72 | -2% | 1.54 |
| 6 | 1580 | 0.42 | 15.96 | 7.81 | 7.89 | +1% | 2.19 |
| 7 | 1848 | 0.45 | 13.18 | 6.84 | 6.65 | -3% | 1.74 |
| 8 | 2118 | 1.57 | 10.97 | 2.98 | 3.18 | +7% | 0.48 |
| 9 | 2390 | 0.37 | 9.22 | 6.02 | 6.14 | +2% | 1.57 |
| 10 | 2665 | 0.28 | 7.83 | 5.83 | 5.83 | -0% | 1.75 |
마지막 열은 처음에 쓴 틀린 식(f₀ 대신 배음 주파수 fn)의 예측이다. 오차가 배음 번호에 비례해 커졌다. 모델 버그로 의심했으나, 향판 감쇠를 10배로 올려 응답을 매끈하게 만든 대조 실험에서도 같은 비례 오차가 나와 식이 틀렸음을 확인했다. 식을 고친 뒤 10개 배음이 모두 ±7% 안에 들었다.
S3. 현 3줄: 두 단계 감쇠 (Weinreich 1977)
피아노 한 음은 대부분 현 2~3줄이다. 줄들이 같은 브리지를 공유하면, 같은 방향으로 함께 움직이는 성분은 브리지를 3배로 세게 밀어 빨리 사라진다(초기음, prompt sound). 서로 반대로 움직이는 성분은 브리지를 거의 움직이지 않아 오래 남는다(여운, aftersound). 줄이 완벽하게 같으면 해머가 반대 성분을 만들지 못해 여운이 없다. 조금 어긋나야 여운이 생긴다.
| 조건 | 초기 기울기 (dB/s) | 후기 기울기 (dB/s, 적합 구간) |
|---|---|---|
| 1현 | -2.5 | -2.5 (6~29 s) |
| 3현 정확히 같은 음 | -4.3 | -4.3 (6~29 s) |
| 2현 ±0.5 cent | -7.3 | -2.3 (6~29 s) |
| 3현 ±0.5 cent | -6.6 | -2.2 (6~29 s) |
| 3현 ±3 cent | -34.7 | -2.4 (6~29 s) |
예측값: 향판 없는 현 자체 -1.6 dB/s · 1줄 + 향판 -2.5 dB/s · 3줄이 한 몸으로 움직일 때 -4.4 dB/s.
현 자체 손실 = 문헌값. 이전 판은 현 자체 손실을 가정(T60 10초)했다. 이번에 Chabassier & Duruflé 2012(Steinway D, 현과 향판을 따로 모델링)의 C4 값 Ru = 0.18 s⁻¹, ηu = 2.6×10⁻⁹ s 를 그대로 넣었다(우리 식의 σ₀ = Ru, σ₁ = (2f₀)²ηu). 기본음 T60 이 36.9초가 됐다 — 가정값은 손실을 3.7배 크게 잡고 있었다. 현 자체 손실이 작아지자 향판으로 새는 몫이 상대적으로 커져, 아래 두 단계 감쇠가 뚜렷해졌다.
- 1줄: 기울기 하나(−2.5, 예측 −2.5).
- 3줄 정확히 같은 음: 기울기 하나(−4.3, 예측 −4.4). 여운 없음 — Weinreich 의 예측과 같다.
- 2줄 ±0.5 cent: 초기 −7.3 → 후기 −2.3. 두 단계 감쇠.
- 3줄 ±0.5 cent: 초기 −6.6 → 후기 −2.2(약 3배 차). 두 단계 감쇠.
- 3줄 ±3 cent: 맥놀이. 후기 −2.4.
- 후기 기울기는 모두 현 자체 손실(−1.6)보다 빠르다 — 수동성 조건 통과.
실제 피아노와 비교. Bensa 등 2003 이 실제 그랜드 피아노의 C4 음 전체를 맞춘 손실은 약 9.6 dB/s 다. 우리 모델에서 3줄이 함께 움직일 때는 4.4 dB/s — 절반 정도로 느리다. 원인 후보는 향판 모드의 위치다: C4 근처에 모드가 없어 그 주파수의 Re Y 가 작다(약 1×10⁻⁴). 대역 평균 Re Y(약 8×10⁻⁴)를 쓰면 약 24 dB/s 가 된다. 실측 9.6 은 이 두 값 사이에 있다. 즉 모델 구조는 맞고, 개별 음의 감쇠는 향판 모드가 그 음 근처 어디에 놓이느냐에 민감하다 — 실제 피아노도 음마다 감쇠가 들쭉날쭉한 이유다.
정정 — "향판이 음을 끌어내린다"는 일반 결론이 아니었다. 브리지를 넣기 전 모델에서는 267.4 Hz 에 향판 모드가 있어 음이 1줄 −2.3 cent, 3줄 −6.6 cent 내려갔다. 브리지를 넣은 지금은 C4 근처에 모드가 없고(가장 가까운 것 285 Hz), 음 변화가 1줄 +0.1 cent, 3줄 +0.4 cent 로 거의 없다. 음정 변화의 크기와 방향은 향판 모드가 음 근처 어디에 있느냐에 달려 있다. 이전 판의 "3줄 예측 21% 차이"도 그 모드 때문이었고, 지금은 2% 다.
측정 과정에서 바로잡은 것 2가지. ① 3줄 ±0.5 cent 는 6초 뒤 레벨이 멈춘 것처럼 보였다. 처음엔 수치 불안정으로 의심해 결합 순서를 고쳤으나, 고치기 전후 출력이 0.1 dB 안에서 같았다 — 원인이 아니었다. 실제 원인은 약하게 결합된 두 모드(주파수 차 약 0.075 Hz)의 느린 맥놀이(주기 약 13초)다. 한 주기보다 짧은 구간으로 기울기를 재면 틀린다(브리지 넣기 전 판 기준 5~13.5초: −3.9 → 6~29초: −6.2). ② 30초로 늘리자 1줄·3줄 정확 조건이 분석 바닥(−200 dB)에 닿아 기울기가 완만해 보였다. 바닥 근처를 빼고 다시 맞췄다. 두 경우 모두 기준은 "어떤 성분도 현 자체 손실(당시 가정 −6 dB/s, 지금 문헌값 −1.6 dB/s)보다 느리게 줄 수 없다"는 수동성 조건이었다. 이 조건은 테스트로 고정했다.
S4. 현의 두 번째 편광 (위아래 + 좌우)
실제 현은 향판에 수직(위아래)으로만 떨지 않는다. 브리지 핀 같은 끝처리 때문에 현의 두 진동 축이 향판 수직에서 각도 θ 만큼 기울고, 두 축의 주파수가 δ 만큼 조금 다르다. 해머는 수직으로 치므로 두 축을 다 울린다. 수평에 가까운 축은 브리지를 거의 움직이지 못해(몫 sin²θ) 느리게 사라진다. 문헌은 수직:수평 움직임 비를 약 5~10:1 로 보고한다(각도로 6~11°).
예측: 늦은 감쇠율 ≈ 현 자체 손실 + sin²θ × 향판 손실, 늦은 소리의 시작 레벨 ≈ tan²θ (θ=8° → −34 dB). 대조: δ=0 이면 축을 돌려도 좌표만 바뀌므로 결과가 θ=0 과 똑같아야 한다 — 실제로 차이가 6×10⁻¹³ (반올림 수준)이었다.
조건: 기본 설정(문헌 현 손실)에서, 향판 손실이 큰 5번 배음(1314 Hz; 현 자체 3.1 dB/s, 향판 7.2 dB/s)을 쟀다. 이전 판에서는 현 손실을 크게 가정해 효과가 가려졌고, 손실을 낮춘 별도 조건에서만 확인했었다. 문헌값을 넣자 기본 설정에서 그대로 나타난다. θ=8°, δ=3 cent 는 여전히 가정이다(문헌은 수직:수평 움직임 비 5~10:1 만 확인).
| 조건 | 초기 (예측) | 후기 (예측) | 늦은 소리 시작 레벨 dB (예측) |
|---|---|---|---|
| 한 방향(θ=0) | -10.49 (-10.24) | -9.16 (-10.24) | -11.7 (—) |
| 대조: θ=8°, 주파수 같음 | -10.49 (-10.11) | -9.16 (-10.24) | -11.7 (—) |
| θ=8°, δ=3 cent | -10.14 (-10.11) | -3.24 (-3.23) | -32.4 (-34.1) |
| θ=15°, δ=3 cent | -9.27 (-9.76) | -3.65 (-3.57) | -21.5 (-22.9) |
남은 것
- 향판 모드 배치: 개별 음의 감쇠가 모드 위치에 민감하다. 실제 윤곽(사다리꼴)·브리지의 실제 경로(대각선)를 넣어 모드 배치를 현실에 가깝게 한 뒤, 여러 음에서 Bensa 적합값과 비교한다.
- 편광 각도·주파수 차: θ=8°, δ=3 cent 는 가정.
- 리브 간격 실측값: 첫 모드의 가장 큰 불확실 요인.
- 소리 방사: 판 전체를 점 음원으로 근사.
- 다른 건반: 저음(감긴 현)·고음. Bensa 표에 C2·C7 손실 값이 있다.
코드: ~/projects/instrument-physics · 테스트 39개 python3 -m pytest tests · 실험 python3 experiments/run_soundboard.py
문헌: Ege & Boutillon 2010 arXiv:1210.5688 · Ege, Boutillon & Rébillat 2013 arXiv:1212.2323 · Weinreich 1977 JASA 62(6) (웹판) · Chaigne & Askenfelt 1994 JASA 95(2)