피아노 건반별 감쇠 — 저음에서 고음까지
업라이트 향판(Ege 2013 형상)에 음마다 실제 현(Chabassier 2012 표: 길이·굵기·장력·현 자체 손실·해머)을 걸고, 한 음 전체(유니즌 현이 함께 움직일 때)의 기본음 감쇠를 예측했다. 비교 대상 = 실제 그랜드 피아노 음을 맞춘 Bensa 2003 의 손실값.
1. 향판: 실제 형상
Ege 2013: 업라이트 향판은 0.91×1.39 m 직사각형에 가깝고, 나뭇결이 긴 변과 33° 를 이루며, 마주 보는 두 모서리가 잘려 있고, 브리지 두 개(고음 3 cm·저음 5.5 cm 높이)가 나뭇결을 따라 달린다. 그래서 나뭇결 좌표에서 판 윤곽을 33° 돌려 그렸다 — 강성 방향은 그대로 두고 브리지는 곧은 보가 된다. 모서리 크기(25 cm)·브리지 위치·음별 부착점은 가정이다.
판 모양이 직사각형이 아니므로 풀이를 "임의 윤곽"으로 넓혔다. 계단 모양 경계 보정(0.75칸 안쪽)을 정사각형에서 잡고, 원판 정확해(λ = 10.2158)로 따로 검증해 3% 안에 든다. 가장 낮은 모드 71.2 Hz (실측 81 Hz), 리브 간격 10 cm.
2. 건반별 감쇠
| 음 | Hz | 현 수 | 현 자체 | 향판 몫 | 범위 | 중앙 | 실제 | 1현 예측/시뮬 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| C2 | 65.6 | 2 | 0.57 | 1.34 | 0.7 – 4.1 | 1.9 | 2.2 | 1.24 / 1.19 |
| C4 | 262.2 | 3 | 1.62 | 15.59 | 2.9 – 45.2 | 14.6 | 9.6 | 6.82 / 6.68 |
| C7 | 2098.3 | 3 | 8.56 | 77.02 | 48.2 – 211.0 | 90.7 | 79.6 | 34.24 / 33.40 |
단위 dB/s. "현 자체"와 "향판 몫"은 기준 부착점(C2 저음 브리지 중앙, C4 고음 브리지 30%, C7 고음 브리지 90%)의 값. 마지막 열은 1현 예측식과 시뮬레이션 측정의 비교.
읽는 법. 실제 피아노는 저음에서 고음으로 가며 감쇠가 약 40배 빨라진다(2.2 → 79.6 dB/s). 모델의 중앙값(1.9 → 14.6 → 90.7)이 이 경향을 2배 안에서 따른다. 고음이 빨리 사라지는 이유는 두 가지가 겹친다: 현 자체 손실이 주파수와 함께 크고(0.6 → 8.6 dB/s), 향판으로 새는 몫도 커진다(파동이 기본 주기마다 한 번 브리지를 치므로 f₀ 에 비례).
3. 리브 간격 민감도 — 공명 우연
| 리브 간격 | 첫 모드 Hz | C2 (실제 2.2) | C4 (실제 9.6) | C7 (실제 79.6) |
|---|---|---|---|---|
| 10 cm | 71.2 | 0.7–4.1 (중앙 1.9) | 2.9–45.2 (중앙 14.6) | 48.2–211.0 (중앙 90.7) |
| 14 cm | 65.6 | 9.9–186.0 (중앙 70.9) | 3.7–18.3 (중앙 7.1) | 61.4–246.6 (중앙 93.9) |
| 18 cm | 62.1 | 1.0–9.0 (중앙 3.8) | 4.4–9.5 (중앙 7.7) | 70.3–202.6 (중앙 119.6) |
리브 간격이 14 cm 이면 향판의 가장 낮은 모드(65.6 Hz)가 C2 기본음(65.6 Hz)과 겹친다. 그러면 현의 에너지가 공명으로 빨려 들어가 C2 감쇠가 실제의 약 30배가 되고, 약한 결합 예측식도 맞지 않는다(1현 예측 35.8 vs 시뮬 79.9). 10 cm(첫 모드 71 Hz, C2 보다 위)나 18 cm(62 Hz, 아래)에서는 C2 가 실제 값 근처로 돌아온다. 실제 업라이트의 첫 모드(81 Hz)도 C2 보다 위에 있다.
리브 간격을 정한 방법. 문헌 범위(10~18 cm) 안에서 가장 낮은 모드가 실측 81 Hz 에 가장 가까운 10 cm 를 골랐다. 건반별 감쇠(이 페이지의 비교)는 고를 때 쓰지 않았으므로 독립 검증이다. 다만 세 음·한 피아노·다른 악기(업라이트 향판 vs 그랜드 음 실측) 비교라 "경향 재현"까지만 말할 수 있다.
남은 것
- 같은 피아노의 향판과 음 실측이 짝으로 있는 자료(업라이트 향판 + 업라이트 음)로 다시 비교
- 저음 현 2~3줄 유니즌·편광을 건반 전체에 적용해 두 단계 감쇠의 음역별 차이 보기
- C7 은 계산 격자가 거칠다(16점) — 기본음 감쇠는 맞지만 높은 배음은 부정확
코드 ~/projects/instrument-physics · 실험 python3 experiments/run_keyboard.py · 테스트 44개
문헌: Chabassier & Duruflé 2012 Inria RT-0425 · Bensa, Bilbao, Kronland-Martinet & Smith 2003 JASA 114(2) · Ege, Boutillon & Rébillat 2013 arXiv:1212.2323 · Leissa 1969